Стражи
4577
правок
Смысл математики: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
→Основания математики и программы обоснования
Аллист (обсуждение | вклад) |
Аллист (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 18: | Строка 18: | ||
== Основания математики и программы обоснования == | == Основания математики и программы обоснования == | ||
В конце XIX — начале XX века с кризисом, вызванным обнаружением парадоксов в теории множеств, возникли программы поиска надёжных оснований математики. | В конце XIX — начале XX века с кризисом, вызванным обнаружением парадоксов в теории множеств, возникли программы поиска надёжных оснований математики. | ||
Возникли кардинально различающиеся программы обоснования | Возникли кардинально различающиеся программы обоснования математики — логицизм, формализм, интуиционизм. | ||
Логицизм (Готлоб Фреге, Бертран Рассел) стремился свести математику к логике, показав, что её понятия и теоремы могут быть выведены из чисто логических принципов. Формализм (Давид Гильберт) рассматривал математику как манипуляцию символами по формальным правилам, где смысл придаётся только непротиворечивости системы. Интуиционизм (Л. Э. Я. Брауэр) отвергал идею математики как набора объективных истин, настаивая на том, что математические утверждения должны быть конструктивно верифицируемы. Хотя ни одна из этих программ не достигла своих целей в полной мере, они углубили понимание структуры и границ математического знания. | Логицизм (Готлоб Фреге, [[Бертран Рассел]]) стремился свести математику к логике, показав, что её понятия и теоремы могут быть выведены из чисто логических принципов. Формализм ([[Давид Гильберт]]) рассматривал математику как манипуляцию символами по формальным правилам, где смысл придаётся только непротиворечивости системы. Интуиционизм (Л. Э. Я. Брауэр) отвергал идею математики как набора объективных истин, настаивая на том, что математические утверждения должны быть конструктивно верифицируемы. Хотя ни одна из этих программ не достигла своих целей в полной мере, они углубили понимание структуры и границ математического знания. | ||
Жирную точку в попытках обоснования полноты и непротиворечивости математики поставили теоремы Гёделя, в которых доказано, что если математика непротиворечива, то ее аксиомы неполны (найдутся неразрешимые в рамках выбранной аксиоматики утверждения), а также доказано что ее непротиворечивость нельзя доказать в рамках нее самой стандартными (финитными) средствами. | Жирную точку в попытках обоснования полноты и непротиворечивости математики поставили [[теоремы Гёделя]], в которых доказано, что если математика непротиворечива, то ее аксиомы неполны (найдутся неразрешимые в рамках выбранной аксиоматики утверждения), а также доказано что ее непротиворечивость нельзя доказать в рамках нее самой стандартными (финитными) средствами. | ||
Тем не менее, в дальнейшем появились нефинитные доказательства непротиворечивости арифметики и аксиоматики Цермело-Френкеля (то есть всей «разумной» математики в целом). | |||
== Социокультурная роль и антропологическое измерение == | |||
Смысл математики не сводится исключительно к её внутреннему содержанию или приложениям; он раскрывается и в её социокультурной роли. | |||
Математика является продуктом коллективной человеческой деятельности, её развитие тесно связано с историческими, экономическими и технологическими потребностями общества. | |||
Антропологический подход рассматривает математику как неотъемлемый компонент человеческой культуры, проявляющийся в самых разных её формах — от систем счисления древних цивилизаций до современных теорий. При таком подходе математика предстаёт как одна из фундаментальных способностей человеческого разума, направленная на структурирование и осмысление как реального окружающего мира, так и идеального мира математических понятий, создание и исследование всё более сложных закономерностей и умозаключений. | |||
== См. также == | == См. также == | ||