Вещественные числа

Материал из Неолурк
Перейти к навигации Перейти к поиску
Числовая прямая
Положение вещественных чисел среди других числовых систем
Что такое действительные числа?

Вещественные числа (они же — действительные числа) — числа, призванные выражать количество чего бы то ни было в реальном мире (значения физических величин). Записываются бесконечной десятичной дробью. Являются очередной математической идеализацией, так как никакой бесконечности в реальном мире нет (как нет и бесконечных десятичных дробей), а никакую физическую величину, принимающую нецелые значения, нельзя измерить абсолютно точно, какие-то погрешности неизбежны. Тем не менее, вещественные числа очень удобны и изучаются уже в школе, хотя и сложны для понимания и связаны с разнообразными парадоксами.

Вещественные числа проще всего представлять как точки прямой, на которой отмечена точка «нуль» и задана длина единичного отрезка. Тогда по одну сторону от нуля (обычно справа) — точки, представляющие положительные числа, по другую — отрицательные (данное соответствие между числами и точками сохраняет отношение порядка).

В математической литературе обычно обозначаются как ℝ (традиция, идущая от Бурбаки).

Исторический экскурс[править]

Уже в древнем Вавилоне знали рациональные числа как отношения натуральных. Тем не менее, когда возник вопрос, можно ли записать в виде рационального числа длину диагонали со стороной 1, древние греки с удивлением поняли, что ответ на этот вопрос отрицательный — ведь квадратный корень из 2 — иррациональное число! (Что доказывается буквально в две строчки «на пальцах»). Отсюда уже недалеко до понятия действительного числа, хотя более-менее строгая их концепция появилась только в XIX веке. В школе действительные числа обычно вводятся как бесконечные десятичные дроби (при этом рациональные числа оказываются периодическими бесконечными десятичными дробями). Здесь есть тонкость, что хвост из бесконечного числа девяток типа 0,99999…. отождествляется с «округлённым» числом 1,0000…., но это более-менее неважная частность.

Таким образом, все натуральные, целые и рациональные числа оказываются вещественными, но вещественными являются и иррациональные числа, типа разных корней. Примером вещественного числа, известного с глубокой древности является число Пи (отношение длины окружности к ее диаметру). Оно также иррациональное и даже трансцендентное (не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами).

Георг Кантор осуществил настоящий прорыв в сознании, когда доказал, что действительных чисел в определенном смысле «больше», чем натуральных, то есть действительные числа нельзя перенумеровать 1, 2, 3,… Как сейчас говорят, они образуют несчетное множество. Это доказывается знаменитым «диагональным» методом Кантора, впрочем, не все до сих пор признают это доказательство как неконструктивное и контринтуитивное.

После Кантора говорят, что множество вещественных чисел обладает мощностью континуум. Интересно, что той же мощностью обладает множество всех точек плоскости, а также всех точек трёхмерного пространства (и евклидового пространства любого числа измерений, большего 0).

Аксиоматика[править]

В школьном (дис)курсе вещественные числа вводятся через бесконечные десятичные дроби, то есть числа вида:

r = ±b, b1b2b3… = ±(b + b110−1 + b210−2 + b310−3 + …),

где b — натуральное число или ноль (может принимать любое значение из множества ℕ ∪ {0}); b1, b2, … — натуральные числа из множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, то есть, арабские цифры и ноль.

Более строгое определение вещественных чисел требует аксиоматики. Обычно всё сводится к трём аксиомам.

Берется множество X с коммутативными операциями сложения (обозначается знаком +) и умножения (обозначается точкой — ·) со стандартными свойствами типа распределительности (то есть a·(b + c) = a·b + a·c), а также с заданным отношением порядка (≤). X — поле вещественных чисел, если:

  1. X является полем в смысле алгебры (у всех ненулевых элементов есть обратный)
  2. Отношение порядка устойчиво относительно сложения и умножения, то есть
    x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z и
    0 ≤ x, 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ xy.
  3. Аксиома полноты, которая в наиболее красивой формулировке звучит так: «любая последовательность вложенных отрезков (то есть любой отрезок последовательности содержит отрезки с большими номерами) имеет общую точку».

Доказывается, что определённый таким образом аксиоматически объект существует и единственен — это и есть вещественные числа.

Вещественные или действительные?[править]

Исторически москвичи использовали термин «действительное число» (традиция восходит к школе Лузина), а питерцы — «вещественное число» (ленинградская математическая школа).


Pi image.png Всё это – часть точного мира чисел
Числа и цифры+11.02.0π3,53,628/641314/881619202528343840425157637780101121128220228265282314322359404410502640646666111111381200+ε13371500181220002300331036053730900096001230940 00010050026060213 000 0001 000 000 000 (СталинскийЗолотой) • 1 208 925 819 614 629 174 706 176G64
Проценты90% женщин95% населенияИнфа 100%146%
Время3 секунды5 секундПолшестого7:4010:101917 год1980-е (1984 год) • 1990-е2000-е (2000 год) • 2010-е (2012 год)
Прочее1 Guy 1 Jar2 Girls 1 CupSweet home2 в 13 Guys 1 Hammer58 видов геевАвтомобильные номераГетДЕЕ1991ГРДеление на нольЗакон ПаретоКодМатанМатановая капчаНатуральные числаПростые числаВещественные числаРулеткаСотни нефтиТеорема ФермаТеория относительностиЧуть более, чем наполовинуСемь чудес светаКвадратура кругаТри обезьяныMonkey dust
Произведение распространяется по лицензии GFDL, основной автор — Аллист