Натуральные числа
Натуральные числа — последовательность 1, 2, 3, 4, 5…, с помощью которой человечество считает предметы. Казалось бы, нет ничего проще натурального числа, но ряд натуральных чисел таит в себе сложнейшие проблемы и парадоксы. Кроме того, к натуральным числам сводится вся остальная математика. Математики любят обозначать множество натуральных чисел как N (чаще — ℕ). Интересно, что в российской традиции ряд натуральных чисел начинают с 1, а на «загнивающем западе» — с нуля, но это большого значения для теории не имеет.
Исторический экскурс[править]
Понятие о натуральных числах зародилось с глубокой древности, как только люди научились считать (впрочем, ученые полагают, что навыки счета есть и у животных, так что тут необходима человеческая способность к абстракции — чтобы было понятие числа, не привязанное ни к какому типу предметов).
Сразу скажем, что у натурального числа два предназначения — они показывают порядок следования занумерованных предметов, а также их количество (размер конечного множества).
Парадоксальность натуральных чисел, в том что их бесконечное число, а в реальности никакие бесконечности не наблюдаются (во Вселенной всё конечно). Поэтому натуральные числа — математический идеальный объект (впрочем, взявшийся из вполне реальных практических расчетов и попыток людей пересчитать всё, что есть под рукой: деньги, любовниц и любовников, количество выпитых рюмок спиртного, написанных викистатей и т. д. и т. п.). Их бесконечное количество, так как к любому числу всегда можно добавить еще единицу.
Натуральные числа можно складывать и перемножать. Но если вычесть из меньшего числа большее, получится уже не натуральное число. Также не всегда одно число делится нацело на другое (может получится дробное так называемое рациональное число).
Исторически свойства натуральных чисел изучались в рамках арифметики, которая имела дело с вопросами делимости, а также с более тонкими вещами, как например алгоритм Евклида, который можно рассматривать как алгоритм для вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел. Среди натуральных чисел стали выделять простые числа (простое — это натуральное число, большее 1, которое не делится ни на какое натуральное, кроме 1 и самого себя). Оказывается, любое натуральное число, большее 1, можно разложить в произведение простых чисел (и единственным образом с точностью до порядка сомножителей). Это называется основной теоремой арифметики. Всё это появилось еще в Древней Греции.
Уже древние научились записывать натуральные числа в позиционной системе счисления. Традиционно победила система счисления с основанием 10 по числу пальцев на двух руках (и в которой 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Но программисты (и не только они), знают, что натуральные числа можно записывать и в двоичной системе счисления (то есть с помощью цифр 0 и 1, например, число 5 в двоичной системе счисления будет записано как 101, а число 16 будет 1000). Можно записывать числа в троичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системе, да и вообще в системе с любым основанием в виде натурального числа, большего 1.
В Новое время появилась «высшая арифметика», связывающая тонкие арифметические вопросы с теоремами математического анализа и высшей алгебры. Сейчас эта наука называется «теория чисел».
Теория чисел, например, изучает как простые числа распределены в числовом ряду, какие натуральные числа можно представить в виде 4 квадратов и сколькими способами и т. д. и т. п.
Аксиоматика[править]
В современной математике натуральные числа имеют строгое аксиоматическое определение. Наиболее распространенный его вариант — аксимы Пеано, 4 из которых тривиальны, а самая интересная и нетривиальная пятая, имеющая далеко идущие следствия:
- 1 (единица) — натуральное число;
- если n — натуральное число, то следующее за ним число (n+1) — натуральное число;
- не существует натурального числа, предшествующего единице (на 1 меньше, чем единица);
- если натуральное число a следует за натуральным числом b и a следует за натуральным числом с, то b = c;
- (Аксиома математической индукции): если какое-то утверждение, зависящее от параметра n верно при n=1 и из того что это утверждение верно при n=N следует, что оно верно и при n=N+1 (для следующего натурального числа), то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Последняя аксиома самоочевидная (что можно перебрать все натуральные числа по единице), но очень глубокая. Всю математику можно построить на основе аксиом арифметики, и именно последняя аксиома вводит в математику бесконечность. Результаты Гёделя, полученные в 1930 году, гарантируют, что если математика (шире — любая формальная система, включающая аксиомы арифметики) непротиворечива, то в ней найдутся недоказуемые утверждения (то есть математика неполна).
Из натуральных чисел легко получить целые (добавив ноль и натуральные со знаком минус), из целых — рациональные числа (добавив все дроби с ненулевым знаменателем и приравняв сокращаемые до одной и той же дроби), затем действительные числа — добавив пределы всех сходящихся последовательностей рациональных чисел, а из действительных — комплексные — добавив мнимую единицу (корень из −1).
Альтернативы[править]
Главная неосознаваемая большинством людей проблема — что натуральные числа не существуют в природе (как не существует и любая бесконечность) и они — лишь математическая абстракция. Поэтому были попытки создать что-то еще, могущее заменить натуральные числа.
Одну из них предпринял в 20 веке математик Александр Есенин-Вольпин (сын русского поэта Сергея Есенина), но его труды большой известности и признания не получили. Суть его идеи примерно такова: есть нормальные натуральные числа, например 1, 2, 10, а есть воще ненатуральные вроде квадриллиона. Ведь до квадриллиона фиг досчитаешь, значит его можно сказать и нет... Эта богатая мысль, однако, так и не получила развития. Возможно, потому что Есенин-Вольпин, несмотря на научную деятельность и активный перевод забугорных книжек по математике чем дальше, тем больше страдал от шизофрении, причём диагноз в США подтвердили.
Интересное[править]
Ряд чисел, обратных к натуральным, расходится (число 1+1/2+1/3 +… +1/n может быть сколь угодно большим при достаточно большом n и растет примерно как натуральный логарифм от n).
При этом в теории расходящихся рядов часто считают, что бесконечная сумма ряда всех натуральных чисел равна −1/12 (!!!):
- 1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12.
Кто интересуется, может прочитать в Википедии — см. статью Ряд из натуральных чисел.
В терминах натуральных чисел формулируется Великая теорема Ферма. Недаром это было сделано еще в 1637 году. Но доказать ее без сложнейшего матана не удавалось более 350 лет.
