Комплексные числа

Шаблон:Пишу Комплексные числа — расширение вещественных чисел посредством добавления к ним «мнимой единицы», обозначаемой i, для которой выполняется тождество i² = −1.

Таким образом, комплексные числа представляются и единственным образом в виде a + bi, где a и b — вещественные числа. Благодаря этому, комплексные числа удобно представлять как точки двумерной плоскости с координатами (a, b) (горизонтальная координатная ось x при этом представлении может отождествляться с действительными числами, которые как известно, можно мыслить как точки прямой).

В математической литературе множество всех комплексных чисел обычно обозначается как ℂ (традиция, идущая от Бурбаки).

Свойства

Комплексные числа, как и действительные числа, образуют поле: то есть их не только можно складывать, вычитать, перемножать, но и делить друг на друга (если то число, на которое делят, не равно нулю). Этим их замечательные свойства не ограничиваются. Самое главное, что это алгебраически замкнутое поле — по основной теореме алгебры любой многочлен имеет корень и может быть разложен на линейные множители над полем комплексных чисел. В вещественном случае это не выполняется (например, многочлен x² + 1 не имеет вещественных корней, а комплексные корни имеет — это будут те самые i и -i).

Комплексные числа удобно представлять в тригонометрической форме z = r(cosφ + isinφ), где r — так называемый модуль комплексного числа z = a + bi (r² = a² + b²), а φ — «аргумент», tg(φ) = b/a. Число r равно расстоянию от точки (a; b) до начала координат (0; 0), а угол φ определен с точностью до 2π, что не должно смущать познавших тригонометрию. Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, удобно возводить в степень: (r(cosφ + isinφ))^k = r^k(cos(kφ) + isin(kφ)). То есть при возведении комплексного числа в степень, его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на степень, в которую надо возвести.

Если вспомнить, что комплексная экспонента e^iφ = cosφ + isinφ, то приходим к показательной форме записи комплексного числа, открытой великим Эйлером: z = re^iφ

Над полем комплексных чисел можно построить комплексный анализ, где многие теоремы удобнее и проще, чем в вещественном анализе. Комплексный анализ привел к многочисленным прорывам в теории чисел и многих других областях математики и физики: например, с помощью них удобно описывать переменный ток. Интересно, что живший в XX веке великий индийский-математик самоучка Рамануджан (1887—1920), переоткрывший многие теоремы анализа XIX века и продвинувшийся в ряде вопросов гораздо дальше западных математиков, совершенно не пользовался комплексным анализом (по крайней мере до переезда в Англию) и видимо вовсе не знал его.

История

Комплексные числа появились в Средние века при попытках решать в радикалах кубические уравнения. Когда были выведены формулы для корней кубического многочлена, оказалось, что частенько (в самом главном случае, когда у него три корня) приходится извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Сначала это вызвало недоумение и даже шок у тогдашних математиков, но потихоньку они привыкли к новым числам, в которых в принципе ничего сверхъественного нет. Ведь комплексные числа — это такая же математическая абстракция, как и любые другие числа.

Произведение распространяется по лицензии GFDL, основной автор — Аллист