Обобщение числа

Обобщение числа́ — это ход абстракции, которым шло всё теоретическое развитие математики вплоть до XIX века — то есть, классической математики, зацикленной на понятиях о мере и о тождестве. Под накопившимся весом идей Лейбница, Эйлера и Грассмана, шаблон был порван, математика помимо чисел научилась обобщать всё остальное, даже обобщение числа́…

Но давайте по порядку. Что есть число? Правильных ответа только два.

• Ответ номер ноль, неправильный: любое справочное хрючево для профана, находимое в огромном количестве унылых изданий на всевозможных языках. Там как бы даётся вводное представление о числах. Если бы профаны, пишущие и читающие это всё, чего-то понимали от такого писева и чтения, то не нужна была бы ни эта статья, ни вики-среда с анонимусами. Негры бы строили небоскрёбы и космодромы, китайцы говорили по-английски, а читатель отбыл бы в Нирвану, лишь подумав хорошенько о природе чисел.
• Ответ номер один, классический: число это объект, которому в данной аксиоматической системе назначена эквивалентность некоторому результату оперирования над объектом-эталоном единство aka единица.
  • Например: в рамках арифметики, это операции сложения, вычитания, умножения и деления, лишь только нельзя делить на ноль; за такими рамками — например, можно возводить в степень, в том числе в нулевую, даже вот так 0⁰,… …а ещё, например, — проводить инверсию, в том числе инверсию возведения в степень отрицательного числа…)
• Ответ номер два: число это либо данное, либо обобщение числа́.
  • Данное — на то и «данное», что определению не поддаётся иначе, как на метауровне, а анализу не подлежит иначе, как в дальнейших вычислениях.
  • Обобщение — это логическая операция, называемая типизацией (заданием/определением типа), или, менее строго и в специальном смысле — «абстрагированием». Нестрого говоря, типизация способна просто так взять и посреди логического рассуждения восрать новое семейство объектов, безо всяких правил и определений.

Первый вариант необходим и достаточен при наличии фиксированной системы аксиом, дополнительной к фундаментальным аксиомам логики. Какие аксиомы — такие и свойства объектов, в нашем случае — чисел. В огромном большинстве, математики, даже самые властные, за рамки известных им аксиоматических систем не выходили, ибо их ждали неотложные дела. Второй вариант предлагает возможность играть с рамкой, не требуя ни начального определения единицы (или единиц), ни фиксированных операций с пометками а-ля можно/нельзя, ни их постоянства в ходе математического оперирования. Это уже не математика, это современная формальная наука. Казалось бы, никакого отношения к понятию «число». А отношение есть: определение задаёт схему рекурсии. Для подсчёта уровней вложенности рекурсии — используются натуральные числа. Например, обобщение обобщения обобщения обобщения данного числа — даёт 4 уровня рекурсии, затем само данное. Четыре — это такое натуральное число. Вот так, получается, занявшись высшим пилотажем современной формальной науки, мы внезапно столкнулись с самым основным, базовым — наинизшим в иерархии мозгодолбления — объектом классической математики. Как вверху, так и внизу.

А нельзя ли попроще?

Вот и вернёмся теперь к истокам. Самое простое число — единица. Казалось бы, обобщить её очень просто: заметив, что контекст её появления дан, условлен. Неизбежно получается, что это не абы какая, а условная единица. Постсовки-пидорашки, продававшие наследие Родины в лихих 90-х, например, как очень умные бизнесмены, приравнивали условную единицу, «у. е.» буквально, — текущему обменному курсу доллара США. На той или иной шкале — например, на линейке — своя условная единица: в международной системе единиц это сантиметр, а в имперской системе дюйм. Выпадение «единицы» на традиционном игральном кубике — создаёт lg(6) бита (вернее, шэннона) информационной энтропии, это приблизительно 2,585. Выпадение же «единицы» на икосаэдре 1d20 — создаёт lg(20) шэннона.

А вот уд. Такую «единицу» саму по себе — не обобщишь, ведь это не число! Число может быть лишь среди других чисел. Та единица, которую мы упомянули в начале дискурса про обобщение числа — особая именно потому, что фигурирует в определении числовой системы. Вот числовые системы-то и обобщаются в ходе распарашивания их по сферам применения и предметным областям. Поехали:

• Натуральные числа — расширяются до целых, путём дозволения (добавления правил насчёт) вычитания из меньшего натурального числа — другого, которое больше. 2-1=-1.
• Целые же числа — обобщаются до рациональных, путём дозволения делить любое целое на любое другое, кроме нуля.

Вот оно, обобщение числа! «Плюс», «минус», «умножить», «разделить» — операции, проводимые над числами, остались те же, работают так же, но: результат их оперирования даже лишь над целыми — может выдавать целые, но может также выдавать дробные.

Продолжение следует