Комбинаторика вокруг числа 72

Комбинаторика вокруг числа 72 — вопросы того, какие числа можно скомбинировать, чтобы получить важное число 72.

Описание

Можно разложить число 72 на простые множители, выйдет 72 = 2³ * 3² (что уже намекает на особые свойства — оба числа как бы используются попеременно). Тут сразу понятно, что для двухзначного числа, у числа 72 необычайно много делителей. Посредством рекомбинации чисел можно понять, что их двенадцать (причём 12 входит в число делителей): 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Эта дюжина делителей позволяет множество комбинаторных возможностей для разбиения числа 72 на произведения.

Один из классических вопросов комбинаторики связан с количеством способов представления числа в виде суммы натуральных чисел. Число разбиений p(72) довольно велико и составляет 5 392 783. Это число описывает количество разных способов, которыми можно разложить 72 на слагаемые, где порядок слагаемых не важен.

Можно представить 72 как сумму степеней двойки (с повторениями). Поскольку 72 = 64 + 8 = 2^6 + 2³, двоичное представление числа 72 — это 1001000, что сразу даёт один способ представления через сумму различных степеней двойки.

Число 72 возникает в различных комбинаторных формулах. Например, C(9,2) = 36, что составляет ровно половину от 72. Это означает, что из 9 элементов можно выбрать пару ровно 36 способами, а если удвоить это число, получим 72.

Интересно, что 72 = 8 * 9, что соответствует количеству клеток на шахматной доске с добавлением одного ряда или столбца. Это порождает множество комбинаторных задач о размещении фигур. Таким образом, каждое из клеток поля как бы имеет мощного следилу, в то время как дополнительные восемь как бы следят за всем.

Функция Эйлера φ(72) = 24 показывает, что среди чисел от 1 до 72 ровно 24 числа взаимно просты с 72. При этом 72 в качестве делителя имеет то же самое число 24.

Также интересна и связь 72 как результата операций. Например, если разделить количество мощных градусов 360 на 5, то выйдет число 72. Таким образом и свойства сторон света также связаны с важным числом 72, которое появляется практически везде.