Закон квадрата-куба

Вкратце

Нельзя так просто взять и увеличить что-нибудь в 10 раз: площадь увеличится в 100 раз, объём в 1000 раз.

— Муравей может поднять вес, в 10 раз превышающий свой собственный.
— Каждый может поднять вес в 10 раз больше муравья!

— ЧП и Зигзаг

Закон квадрата-куба звучит так: если увеличить что-то в n раз, площадь поверхности увеличится в n² раз, объём — в n³ раз.

Одни параметры завязаны на объём (и увеличатся в n³ раз), другие — на площадь (и увеличатся всего лишь квадратично). Масса — n³, сила мышц — n², поэтому великан не сможет даже удержать себя. Так что простое увеличение или уменьшение знакомых вещей не работает, потребуется кардинальная переработка. И потому не бывает ОБЧР, гигантских насекомых, великанов и лилипутов, кайдзю, и т. д., и для этого по умолчанию необходимо вводить в сюжет магию, либо что-то ей подобное.

Что чему пропорционально

• Близка к константе (n⁰)
  • Внезапно, скорость метания тел упругими конструкциями. И масса, и запасённая упругая энергия пропорциональна кубу размеров. С учетом ухода энергии во вращательное движение и некоторого снижения удельной прочности с увеличением размера — степень становится даже несколько отрицательной.
• Пропорционально корню линейного размера (n^0,5)
  • Скорость вытекания жидкости из сосуда.[1]
• Пропорционально линейному размеру (n)
  • Давление на грунт, удельная нагрузка на конструкции.
  • Толщина брони.
• Пропорционально площади (n²)
  • Прочность конструкций, сила мускулов.
  • Силы (в ньютонах! — не давление, которое в Н/м² = 1 Па ≈ 10⁻⁵ атм) в тепловой, гидравлической или пневматической машине.
  • Площадь опоры.
  • Поверхность тела.
  • Площадь и подъемная сила крыла.
  • Сопротивление воздуха.
  • Поверхность тепло- и газообмена.
  • Пропускная способность труб.
  • Вероятность попасть в объект хотя бы одним снарядом (если разброс больше, чем габариты объекта). Ну и за компанию — сколько шальных пуль и осколков примет на себя объект.
  • Скорость обмена веществ организма (точнее, пропорциональна массе тела в степени 0,75).[2]
• Пропорционально объёму (n³)
  • Масса и соответственно кинетическая энергия при той же скорости.
  • Потребная мощность моторов.
  • Сложность мозга и других информационных устройств.
• Пропорционально четвертой степени (n⁴)
  • Момент инерционных сил, изламывающий момент.
• Пропорционально пятой степени (n⁵)
  • Момент инерции — аналог массы для вращательного движения. В одиночестве не используется, но сильно мешает быстро раскручивать-тормозить вращение всякого большого хлама.
  • Центробежные силы при постоянной частоте вращения — масса эксцентрика пропорциональна кубу, а ускорение — квадрату размера.

Выводы

В биологии

Насекомые очень малы (n малó), и у них отношение поверхности газообмена к массе (n²/n³ = 1/n) большое. Так что нечего природе и огород городить, насекомым достаточно дышать простой диффузией (т. н. трахеями). А нам приходится принудительно прокачивать воздух через дыхательные пути. И лапки у насекомых тонюсенькие относительно всего тела. Знаете такую шутку: «По законам аэродинамики шмель летать не может, но он этого не знает и летает»? По самолётным формулам для самолётных масштабов — да. А шмелю помогает закон квадрата-куба: размер крыльев и управляющих поверхностей нужен совсем небольшой. И с малыми размерами возможны совсем другие принципы полёта, разгаданные только в последние десятилетия.

Почему кузнечик прыгает на полметра, а слон не прыгает вообще? Потому что масса (и ударные нагрузки от прыжков) n³, а прочность костей и сила ног всего лишь n². А ещё насекомое может упасть практически с любой высоты: большой запас прочности и большое сопротивление воздуха (относительно массы, разумеется) не дадут разбиться.

Это же делает Человека-паука невозможным в мире с нашими законами физики.

Что, одни плюсы от малого размера? А минусы в том, что отношение поверхности теплообмена к массе — те же 1/n. Другими словами, маленький не может быть теплокровным. Замечали, как в августе колорадские жуки становятся квёлыми? А температура упала всего чуть-чуть. А сложность мозга уменьшается кубически — n³ — так что и разумным тоже не станешь. И кинетическая энергия n³ — препятствия, непроходимые для мелких существ, крупные с лёгкостью сносят.

• Не стоит забывать, что именно август – единственный жаркий месяц.

Расчеты, сделанные но основании изучения системы дыхания акул, позволили сделать вывод, что максимально возможный предел в их размерах составляет около 15 метров. Поскольку при увеличении размеров тела поверхность жабер увеличивается непропорционально, это не позволяет доставить требуемое количество кислорода в организм. Указанная цифра примерно соотносится с размерами крупнейших достоверно измеренных китовых и гигантских акул, а также теоретическими прикидками относительно предельных размеров вымершего мегалодона.

• Нет такой цифры. Да и предельный размер зависит от температуры воды, глубины плавания, парциального давления кислорода в атмосфере и дополнительных факторов, влияющих на поступление кислорода в воду.

В технике

Почему для небоскрёбов потребовались прочные сорта стали? Потому что прочность всего лишь n², а масса n³. Так что при увеличении размера постройки в n раз удельная нагрузка на конструкции повысится в те же n раз.

Гигантские самолёты («Мрия», A380) непривычны для наших глаз именно из-за непропорциональных размеров крыльев и управляющих поверхностей: их приходится делать в √n раз больше, чем нужно было бы при пропорциональном увеличении. А дирижабли можно делать гигантскими, и они сохранят те же пропорции: подъёмная сила их баллонов зависит от объёма, а масса оболочки – от степени между квадратом и кубом.

• В некотором смысле большие дирижабли даже удобнее — в маленьких обшивка достаточной прочности будет слишком толста по сравнению с размерами дирижабля. Крошечные коптеры вполне существуют, а вот крошечных дирижаблей — нет. Но ветровое воздействие хуже переносится именно большими.
  • что показывает только одно - масштабирование конструкции в любую сторону простым увеличением всех линейных размеров применимо крайне ограничено. При желании, большой цепеллин можно сделать хоть в форме клина или гигантского летающего крыла, хоть любой иной формы, если она будет лучше держать нагрузки.

Если увеличить мотор в n раз, давление в нём не изменится, площадь поршней увеличится в n² раз, масса деталей в n³ раз — другими словами, обороты мотора уменьшатся в n раз, а мощность — увеличится в n² раз. Замечали, как тихоходны огромные судовые двигатели? Кроме того, одни детали будут работать с увеличенными нагрузками, другие с уменьшенными — поэтому потребуется переработка всего, что есть в моторе. Тоньше картер, слабее поршни, это потребует более лёгких противовесов… А можно, наоборот, форсировать двигатель, уменьшив сами цилиндры, но увеличив их количество и усилив систему охлаждения (не забыли, её эффективность n²?) А ещё придётся переделать капот той машины, в которой этот мотор будет стоять.

• Вышесказанное справедливо для теплового двигателя, а как закон квадрата-куба отразится на электрическом двигателе или электрическом генераторе?
  • Магнитное поле с размером не меняется, движущая сила — пропорционально плотности тока в обмотке на куб её размера, момент — плотности тока на четвёртую степень размеров. Мощность — четвертая степень размера на плотность тока и частоту вращения. Но момент инерции пропорционален пятой степени, так что разгоняться он будет медленнее. Проблемы с нагревом с увеличением размеров усиливаются, так что придётся снижать плотность тока, или городить более сложную и эффективную систему охлаждения, благо это становится проще.
    • В 50х любили развлекаться с электростатическими генераторами, что повлекло за собой внимание к этому делу Ландау, который объяснил идиотам, что дабы получить промышленную мощность, скажем, для завода, генератор придется строить размером с гору. Публика сделала выводы.
  • Усилия в подшипниках возрастают как куб/пятая (от центробежных сил) степень, а их прочность — как квадрат. Так что сильно размеры не поднять.

В авиации есть изящный термин «уравнение существования». Это эмпирический закон, показывающий приблизительную составляющую долю в общей массе всех узлов, образующих самолет, чтобы он мог летать. Для более крупного самолета нужен более мощный двигатель. Этот двигатель будет чуть тяжелее, поэтому понадобится более крупное крыло. Это крыло тоже будет чуть тяжелее, поэтому эта «гонка весов» асимптотически стремится к… …новому самолету, в котором двигатели по прежнему будут занимать, скажем, 35 % веса, но общая масса самолета возрастет раза в два. Например И-16 при мощности двигателя около 1000 лошадиных сил имел взлётную массу 1800—1900 кг, а его прямой потомок И-185 с 2000-сильным двигателем тянул уже на 3800. В общем случае это тот же ракетный закон — считается что полезная нагрузка примерно равна 1 % массы ракеты (разумеется это сильное упрощение, однако «протон» при массе около 700 тонн на геопереходную орбиту вытаскивает около 7 тонн, так что для примера покатит, логичнее было бы говорить об отношении полезной нагрузки к сухой массе ракеты), важно не это, а то что принцип «топливо которое тащит топливо» порождает ту же проблему что и у самолётостроителей. Нельзя просто отмасштабировать, нужно делать новую ракету с нуля. Костыли в виде модульности, «летающего забора» и аспарагуса дело лишь усугубляют, ибо относятся к удешевлению и стандартизации, а не к увеличению эффективности конструкции.

• Энергия пули — (mv²)/2, импульс — mv. По закону сохранения импульса ружьё летит назад во столько раз медленнее, во сколько раз оно тяжелее пули. Но при этом кинетическая энергия, которая достанется плечу стрелка, во столько же раз меньше кинетической энергии пули, т. к. она пропорциональна квадрату скорости и всего лишь первой степени от массы. По мере увеличения калибра и приближения массы поражающего элемента к массе оружия ситуация всё больше напоминает одновременный выстрел в утку и себе в плечо, со всеми сопутствующими переломами ключиц.

Положительные стороны

Объём топлива и перевозимого груза на корабле растёт пропорционально кубу, а сечение, которое надо пропихивать через воду — квадрату. Поэтому суда всё монструознее и монструознее.

• Если речь идёт о гребных судах, то увеличение судна в длину с добавлением дополнительных гребцов увеличивает только трение бортов о воду, которое составляет меньшую долю в общем сопротивлении воды, но оставляет неизменным вышеупомянутое сечение, пропихивание которого и создаёт основную проблему — мощность растёт линейно (точнее, медленнее, чем линейно, но быстрее, чем с показателем 1/2), затраты — значительно медленнее. А учитывая, что длинная лодка создаёт меньшую турбулентность в воде, чем короткая, получается именно так: чем длиннее лодка и больше на ней гребцов — тем эффективнее вся конструкция. Дальше всё упирается только в прочность, где закон квадрата-куба превращается просто в закон квадрата: при простом удлинении лодки нагрузка на корпус в средней части растёт квадратично (именно поэтому деревянные галеры, а позже — линкоры ломались пополам), а его прочность не изменяется вообще.
  • Правда, остается ещё волновое сопротивление.
  • особо борзые конструкторы решили положить на данный закон с прибором с помощью «смазки». Для подводных судов — кавитационный пузырь (это позволило гонять под водой как и не снилось, правда шума было много), для воздушных — плазменная (нормально сделать не смогли, потому как плазма сильно мешает ориентироваться в пространстве, плюс сейчас скорости явно не те). Что, в принципе, логично. Кстати авторам фантастики на заметку, что шайхулудам необходимо превращать землю в грязь дабы очень быстро в ней двигаться.

• Корабли вообще, и особенно военные в частности. Здоровенные подлодки проекта "Акула" добрые люди прозвали водовозами за то, что в норме, половину массы судна составляет балластная (!) вода. То ли резерва плавучести на случай повреждения, то ли просто не смогли придумать, что ЕЩЁ впихнуть в этот гигантский объем.
• Другой пример - линкоры. Если проследить их историю, то с увеличением водоизмещения вырастала и толщина брони. В итоге, знаменитый "Ямато" в самых толстых местах имел полметра брони. Если бы она ещё была нормального качества, а в составе эскадры оставались авианосцы для прикрытия этой туши... А так, только анекдот про три самые бесполезные на свете вещи - Египетские пирамиды, Великую Китайскую Стены, и сабж.

То же с дирижаблями: масса оболочки при равной толщине растёт по квадрату, рабочий объем — по кубу, да и аэродинамика улучшается, как у судов. А керосин всё дороже, и перспективы возрождения воздухоплавания всё заманчивее. Правда автор сего тезиса почему-то думает что дирижабли подобны воздушным шарам. Нихрена — тепловые дирижабли помимо топлива чтобы ворочать конструкцию, нуждаются ещё и в подогреве рабочего тела. А теперь мякотка: автор примечания как-то в споре с коллегами проводил примерный расчет дирижабля Циолковского, после чего всякое желание строить монструозную хренотень способную засунуть в трюм пару-тройку супертанкеров пропало напрочь: парусность сего такова, что никаких двигателей не хватит чтобы ей нормально управлять или хоть как-то двигать, а уж чтоб просто взлетела (это тепловой дирижабль) потребуются тысячи тонн топлива. Циолковский, правда, считал, что оно само взлетит (солнце нагреет газ), но похоже, нет. С двигательной установкой тоже всё печально — как и в случае с океанскими лайнерами (где на увеличение скорости в 1 узел приходилось удваивать мощность силовой установки, что привело к эпическим 500 000 л.с. у лайнера способного жать 35 узлов), дабы сдвинуть с места воздушное судно в несколько сот тысяч тонн, более-менее годится только реактивный двигатель, причем здоровенный, жрущий топливо как не в себя, в итоге дирижабль больше похож на ракету, прицепленную к воздушному шарику — тяга нивелируется драгой. То есть летает медленно, управляется плохо, топлива жрёт много, вывод — нерентабельно, если конечно вам не надо тащить что-то охрененно здоровое и нетранспортабельное туда куда иным способом это притащить нельзя. Однако проведение ОКР (опытно-конструкторских работ) в этой области способно обогатить инженерию решениями, которые могут позже пригодиться — для воздушных космодромов, удешевляющих запуски, или для баз в атмосфере Венеры, или ещё зачем-нибудь.

• • Как раз воздушные шары с воздухом изнутри подогревать надо. А гелий или гелий-водородную смесь — не надо.