Треугольник Серпинского
Треугольник Серпинского — красивый фрактал, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского. Это фрактал в форме равностороннего треугольника, который рекурсивно делится на меньшие равносторонние треугольники. Хоть он и назван в честь Вацлава, но появился как декоративный узор за много веков до работ Серпинского.
В 2024 году Международная команда исследователей сообщила об открытии белка цитратсинтазы в цианобактерии Synechococcus elongatus, который самоорганизуется в треугольник Серпинского, это первый известный молекулярный фрактал.
Конструкции[править]
Существует множество различных способов построения треугольника Серпинского.
Удаление треугольников[править]
Треугольник Серпинского можно построить из равностороннего треугольника, многократно удаляя треугольные подмножества:
1. Начнём с равностороннего треугольника.
2. Разделите его на четыре равных равносторонних треугольника меньшего размера и удалите центральный треугольник.
3. Повторяйте шаг 2 с каждым из оставшихся маленьких треугольников до бесконечности.
Сокращение и дублирование[править]
Ту же последовательность фигур, сходящихся к треугольнику Серпинского, можно получить, выполнив следующие действия:
1. Начните с любого треугольника на плоскости (на самом деле подойдёт любая замкнутая ограниченная область на плоскости). В каноническом треугольнике Серпинского используется равносторонний треугольник с основанием, параллельным горизонтальной оси.
2. Уменьшите треугольник до 1/2 высота и 1/2 шириной, сделайте три копии и расположите три уменьшенных треугольника так, чтобы каждый треугольник касался двух других треугольников в углу. Обратите внимание на появление центрального отверстия — три уменьшенных треугольника могут покрыть только 3/4 от площади оригинала. (Дыры — важная особенность треугольника Серпинского.)
3. Повторите шаг 2 с каждым из меньших треугольников.
Этот бесконечный процесс не зависит от того, является ли исходная фигура треугольником — просто так понятнее. Первые несколько шагов, например, при построении квадрата, также ведут к треугольнику Серпинского. Майкл Барнсли использовал изображение рыбы, чтобы проиллюстрировать это в своей статье «V-переменные фракталы и суперфракталы».
Игра в хаос[править]
Если взять точку и случайным образом применить к ней каждое из преобразований dA, dB и dC, то полученные точки будут плотно распределены по треугольнику Серпинского, поэтому следующий алгоритм снова позволит получить сколь угодно близкие приближения к нему:
1. Выберите три точки на плоскости, чтобы получился треугольник.
2. Выберите произвольно любую точку внутри треугольника и считайте её своим текущим местоположением.
3. Выберите наугад любую из трёх вершин.
4. Сдвиньтесь на половину расстояния от текущего положения до выбранной вершины.
5. Постройте график текущего положения.
6. Повторите шаг 3.
Этот метод также называют игрой в хаос, и он является примером системы итерируемых функций. Вы можете начать с любой точки внутри или снаружи треугольника, и в конечном итоге получится губка Серпинского с несколькими оставшимися точками (если начальная точка находится на контуре треугольника, то оставшихся точек не будет). Если рисовать карандашом на бумаге, то после нанесения примерно ста точек получится приблизительный контур, а после нескольких сотен начнут проявляться детали.
Конструкция салфетки Серпинского[править]
Другая конструкция для салфетки Серпинского показывает, что её можно представить в виде кривой на плоскости. Она образуется в результате многократного изменения более простых кривых, аналогично построению снежинки Коха:
1.Начните с одного отрезка на плоскости
2. Несколько раз замените каждый отрезок кривой тремя более короткими отрезками, формируя углы в 120° на каждом стыке двух последовательных отрезков. При этом первый и последний отрезки кривой должны быть либо параллельны исходному отрезку, либо образовывать с ним угол в 60°.
На каждой итерации эта конструкция даёт непрерывную кривую. В пределе эти кривые сходятся к кривой, которая описывает треугольник Серпинского с помощью одного непрерывного направленного (бесконечно извилистого) пути, который называется стрелкой Серпинского. На самом деле целью оригинальной статьи Серпинского 1915 года было показать пример кривой (канторовой кривой).
Клеточные автоматы[править]
Треугольник Серпинского также встречается в некоторых клеточных автоматах (например, в Правиле 90), в том числе в играх Конвея «Жизнь». Например, клеточный автомат B1/S12, подобный Life, применённый к одной клетке, создаст четыре приближения треугольника Серпинского. Очень длинная линия толщиной в одну клетку в стандартной модели Life создаст два зеркальных треугольника Серпинского. Пространственно-временная диаграмма репликаторного шаблона в клеточном автомате также часто напоминает треугольник Серпинского, например, треугольник обычного репликатора в HighLife. Треугольник Серпинского также встречается в автомате Улама-Уорбертона и автомате Гекса-Улама-Уорбертона.
Треугольник Паскаля[править]
Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется приближение к треугольнику Серпинского.
Аналоги в более высоких измерениях[править]
Тетраэдр Серпинского, или тетрикс (tetrix), — это трехмерный аналог треугольника Серпинского, образованный путем многократного сжатия правильного тетраэдра до половины его первоначальной высоты, составления четырех копий этого тетраэдра с соприкасающимися углами и последующего повторения процесса.
История[править]
Вацлав Серпинский описал треугольник Серпинского в 1915 году. Однако подобные узоры появляются уже как распространенный мотив инкрустации камнем в стиле косматеско XIII века.
Аполлоновская прокладка, названная в честь Аполлония Пергского (III век до н. э.), была впервые описана Готфридом Лейбницем (XVII век) и является изогнутым предшественником треугольника Серпинского XX века.
В искусстве[править]
Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений Георгия Нарбута, в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала «Мистецтво» (1919—1920 гг.).
Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в интерьере синагоги Бен-Эзра, Каир, Египет.
Четыре первых итерации фрактальных треугольников Серпинского использовались в орнаментах геометрической мозаики стиля косматеско в средневековых соборах Италии (начиная с XII века), арабских и персидских интерьерах.
