Практическое применение математики
Практическое применение математики — многие полагают, что математика является чисто абстрактной и теоретической наукой, и оттого даже кукаречат, что якобы математика не нужна. Так любят заявлять школотроны. Однако на практике математика крайне полезна, она применяется в огромном количестве областей и без неё никакой цивилизации бы не было.
Описание[править]
Неумные люди, интеллект которых недостаточен для работы с сложными математическими конструкциями, любит заходиться стремительным лаем, говоря что математика на практике не нужна, а чтобы сложить несколько чисел достаточно и калькулятора. При этом они игнорируют тот факт, что мощная математика в целом развивает мозг, который начинает лучше решать любые задачи, в том числе не связанные с математикой. Но и это не главное, а то, что вообще всё в жизни человека происходит с использованием математики. Без мощного математического аппарата не было бы никакой науки, в особенности очень важной и полезной физики.
Бывают и совсем бредовые заявления, вроде того что математика абстрактна и потому бесполезна, поскольку в реальной жизни нет абстрактных объектов, и сравнивать 3 яблока и 3 дома бесполезно. А неизвестные и вовсе якобы смысла не имеют. В общем такие заявления показывают только IQ меньше 75.
Примеры[править]
Навигация и GPS[править]
Всем современным людям привычно понятие GPS, особенно полезное при поездках на машинах.
Когда смартфон показывает синюю точку на карте, он решает классическую задачу с неизвестными. Смартфон не знает, где находится (и координаты обозначаются посредством неизвестных x, y, z), но знает расстояния до нескольких спутников. Каждый спутник создаёт уравнение вида (x — x₁)² + (y — y₁)² + (z — z₁)² = r₁².
Три спутника дают три уравнения, четвёртый корректирует погрешность часов. Система из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными решается, и местоположение определяется с точностью до нескольких метров.
Прогноз погоды[править]
Метеорологи предсказывают погоду, решая систему уравнений Навье-Стокса, которые описывают движение жидкостей и газов. Атмосферу разбивают на миллионы кубических ячеек, в каждой вводят неизвестные, температуру T(x, y, z, t), давление P(x, y, z, t), скорость ветра v(x, y, z, t).
Эти функции связаны дифференциальными уравнениями, которые описывают физические законы. Например, изменение температуры во времени ∂T/∂t зависит от переноса тепла ветром, солнечного нагрева, испарения. Суперкомпьютеры численно решают эти уравнения: зная состояние сейчас, вычисляют состояние через минуту, через две, и так далее. Каждый такой шаг — это решение миллионов уравнений с миллионами неизвестных. В результате оказывается возможно с определённой точностью предсказать погоду.
Сжатие изображений[править]
Если вы на телефоне или интернет ослаблен, то весьма важна экономия трафика. Здесь помогает сжатие изображений, которые средствами математики можно учинить без потери качества.
JPEG-сжатие по своей сути применение преобразования Фурье, мощнейшего преобразования, введённого в математическом анализе. Изображение рассматривается не как набор пикселей, а как сумма волн разной частоты. Математики представляют картинку функцией I(x, y) и раскладывают её в ряд I(x, y) = Σ A_k cos(kx) + B_k sin(ky).
Человеческий глаз плохо различает высокие частоты, поэтому коэффициенты для них можно просто выбросить или огрубить. Фотография в 10 МБ превращается в 1 МБ почти без видимой потери качества. Абстракция, представление картинки как бесконечной суммы функций, позволяет значительно сократить объём изображений без сильных потерь.
Машинное обучение[править]
Когда нейросеть распознаёт представленное на закачанной картинке или переводит текст, она работает с миллионами параметров — весов w₁, w₂, …, wₙ, которые являются неизвестными. Обучение сети по своей сути — ни что иное, как поиск таких значений весов, чтобы функция ошибки E(w₁, w₂, …, wₙ) была минимальной.
Здесь используется градиентный спуск из математического анализа, вычисляют частные производные ∂E/∂w_i (показывающие, как меняется ошибка при изменении каждого веса) и двигаются в направлении, противоположном градиенту. Миллиарды таких крошечных шагов по многомерному пространству параметров превращают изначально случайную сеть в систему, которая понимает изображения или язык.
Финансовые опционы[править]
Как оценить стоимость права купить акцию через полгода по фиксированной цене? Это классическая задача с неизвестными, где будущая цена акции S(t) случайная величина, её точное значение неизвестно. Блэк, Шоулз и Мертон создали дифференциальное уравнение, связывающее цену опциона V с текущей ценой акции, временем и волатильностью:
∂V/∂t + ½σ²S²∂²V/∂S² + rS∂V/∂S — rV = 0
Решение этого уравнения даёт точную формулу для справедливой цены опциона. За эту работу дали Нобелевскую премию по экономике, и она оказала мощнейший импакт на рынки.
Шифрование[править]
Важнейшее применение математики, которое делает интернет безопасным и защищает его от товарища майора. Мощное, доброе шифрование.
Когда человек вводит пароль на сайте, используется RSA-шифрование, основанное на теории чисел. Сообщение m шифруется как c = m^e mod n, где n — произведение двух огромных простых чисел p и q. Чтобы расшифровать, нужно знать p и q (закрытый ключ), но найти их, зная только n, вычислительно невозможно для достаточно больших чисел. Таким образом информация остаётся приватной.
Даже государства, обладающие суперкомпьютерами, не в состоянии взломать такое шифрование, если ключ сгенерирован верно и обладает скажем размером в 2048, а ведь его можно спокойно удвоить при возникновении опасений и сделать 4096. Всё это мощь математики, обеспечивающая функционирование интернета в привычном виде.
Оптимизация маршрутов[править]
Когда служба доставки планирует развоз сотен посылок десятками машин, она решает задачу оптимизации с огромным числом неизвестных, где принимается решение, какая машина куда едет, в каком порядке посещает точки. Количество возможных вариантов астрономическое (для 20 точек это более 10¹⁸ комбинаций).
Используются мощные математические методы, задача формулируется как минимизация функции стоимости (время, топливо) при множестве ограничений (грузоподъёмность, время работы). Алгоритмы вроде симплекс-метода или генетических алгоритмов позволяют найти оптимальное решение. Подобные задачи применяются всеми крупными магазинами и позволяют оптимизировать труд.
Сейсмология[править]
Как узнать, что находится в 3000 км под нами? Сейсмологи анализируют, как волны от землетрясений проходят сквозь планету. Скорость волны зависит от плотности среды, которая определяется посредством неизвестной функции ρ(x, y,z). Наблюдая времена прихода волн на разные станции, учёные решают обратную задачу и по эффектам восстанавливают причину.
Это требует решения волнового уравнения ∂²u/∂t² = c²∇²u в обратном направлении, которое является достаточно сложным, но также и весьма полезным. Посредством сейсмологии была открыта структура Земли: твёрдая кора, вязкая мантия, жидкое внешнее и твёрдое внутреннее ядро. Всё это увидели через математику, не пробурив ни одной скважины глубже 12 км.
