Домино в математических задачах

Основная статья: Домино

Домино в математических задачах — математические проблемы и упражнения, формулируемые с использованием костяшек домино. С домино связано множество математических задач для школьников. Известны и сложные серьёзные исследования, которые удобно формулировать с использованием терминологии домино.

Замощение поля

Строго говоря, в задачах на замощение используется только форма костяшек домино (прямоугольник 1×2, составленный из двух квадратов 1×1), но не цифры на костяшках.

Одна из эпичных задач на принцип Дирихле, думая над которой можно сломать голову:

Квадратная доска 6×6 заполнена костяшками домино 1×2. Докажите, что можно провести вертикальный или горизонтальный разрез этой доски, не пересекающий ни одной из костяшек домино.

(Подсказка: всего есть 10 горизонтальных и вертикальных рассекающих доску линий, причем каждая линия не может пересекать ровно 1 костяшку (докажите!), а костяшек всего 18).

Развитие про доску 8×8:

Квадратная доска 8×8 заполнена костяшками домино 1×2. Всегда ли можно провести вертикальный или горизонтальный разрез этой доски, не пересекающий ни одной из костяшек домино?

(Ответ: не всегда, пример см. на рисунке справа).

Другая интересная популярная задача:

Можно ли замостить костяшками домино размером 1×2 шахматную доску размером 8×8, из которой вырезаны два противоположных угловых поля?

(Подсказка: каждая костяшка покрывает одно белое и одно чёрное поле).

Ее развитие:

Доказать, что если из шахматной доски 8×8 вырезаны 2 поля разного цвета, то оставшиеся поля всегда можно замостить костяшками домино размером 1×2.

(Решение см. https://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=58181.)

Головоломки Мартина Гарднера

В книге М. Гарднера «520 головоломок» есть ряд задач-головоломок с использованием домино, выделенных в отдельную главу (это задачи 465—478, всего 14 задач). Они выложены, например, на сайте http://matica.narod.ru/520golovolomok/domino.html. Стоит особо выделить задачи, связанные с составлением квадратов и других фигур из костяшек домино с теми или иными числовыми свойствами.

Примеры:

Рисунок к задаче 467

467. Квадрат из домино. Выберите любые 18 костяшек домино из обычного комплекта и расположите их в виде квадрата, как вам заблагорассудится, лишь бы никакое число не повторялось дважды ни в одной из строк, ни в одном из столбцов. Пример, приведенный на рисунке, неудачен, так как, хотя ни одно число не повторяется дважды ни в одном из столбцов, три строки нарушают это условие. В первой строке расположены две четверки и две пустышки, в третьей строке — две пятерки и две шестерки, а в четвертой строке — две тройки. Не могли бы вы составить квадрат, полностью удовлетворяющий нашим условиям? Пустышка рассматривается как число.

Рисунок к задаче 471

471. Рамки из домино. Возьмите обычный комплект домино из 28 костяшек и положите обратно в коробку дубль 3, дубль 4, дубль 5 и дубль 6, поскольку они нам не понадобятся. Теперь сложите из оставшихся костяшек 3 квадратные рамки, как показано на рисунке, чтобы суммы очков вдоль каждой из сторон были равны между собой. В приведенном примере эти суммы равны 15. Если это одна из трех рамок, то суммы сторон остальных двух рамок также должны равняться 15. Однако вы можете взять любое число, какое пожелаете; кроме того, нетрудно заметить, что костяшки разрешается складывать не обязательно 6 к 6, 5 к 5 и т. д., как во время игры.

(Решение: см. /Задача 471).

Рисунок к задаче 472

472. Полые квадраты из домино. <…>

Из 28 костяшек требуется составить 7 полых квадратов, подобных изображенному на рисунке, так, чтобы в любом квадрате суммы очков вдоль каждой из сторон равнялись между собой. У всех 7 квадратов общие суммы очков не обязаны, разумеется, совпадать, и, кроме того, квадрат, приведенный на нашем рисунке, не обязан входить в ваше множество из 7 квадратов.

Читатель, вероятно, легко сумеет составить 6 квадратов разными способами, однако трудности возникнут, когда вы попытаетесь сложить из оставшихся четырех костяшек седьмой квадрат.

(Решение: см. /Задача 472).

Научные работы

Имеется некоторое количество математических работ, имеющих дело с домино (может иметься в виду «обобщенное» домино), обычно исследующих те или иные комбинаторные аспекты.

Например, Наталия Юрьевна Энатская (явно не блондинка) написала работу «Комбинаторный анализ схемы домино и случай фиксированной минимальной цифры на фишке домино». Определяется схема домино как схема случайного заполнения фишки обобщенного домино с r концами и n цифрами от 0 до n-1 на концах фишек всех возможных составов с повторениями без учета их порядка. Проводится исследование этой схемы и аналогичной с фиксированной минимальной цифрой ≥ m, за подробностями можно обратиться к самой работе.

О покрытиях домино вещает А. Л. Канунников, Лекция 1.

Развивается такая дисциплина, как подсчет числа разбиений на домино плоской фигуры на квадратной сетке. По этой дисциплине даже был прочитан курс лекций (Курс А. Л. Канунникова «Комбинаторика покрытий домино», 14 сентября-23 ноября 2021 г., МИАН, комн. 303 (ул. Губкина, 8) + Zoom, г. Москва).

Для затравки, приведем одну из начальных теорем данной науки:

Теорема. Количество разбиений прямоугольника m × n на домино нечётно тогда и только тогда, когда m + 1 и n + 1 взаимно просты.

(Доказывается по индукции, известное доказательство опирается на нетривиальную теорию «деталей»).

Теорема взята из вводящей в тему работы К. П. Кохася «Разбиения на домино», вышедшей в 2005 году в журнале «Математическое просвещение» (выпуск 9, с.143-163). Тот же автор опубликовал свои исследования по теме разбиений фигур на домино в 2008 году в статье «Разбиение ацтекских диамантов и квадратов на домино».

Ссылки

• https://klarissa45.livejournal.com/tag/домино
• https://pandia.ru/text/80/120/27014.php

Произведение распространяется по лицензии GFDL, основной автор — Аллист